Un score z décrit la position d’un score brut en termes de distance par rapport à la moyenne lorsqu’il est mesuré en unités d’écart type. Le score z est positif si la valeur est supérieure à la moyenne et négatif si elle est inférieure à la moyenne.
Il est également connu sous le nom de score standard car il permet de comparer les scores de différents types de variables en normalisant la distribution. Une distribution normale standard (DNS) est une distribution de forme normale avec une moyenne de 0 et un écart-type (ET) de 1 (voir figure 1).
Pourquoi les scores Z sont-ils importants ?
Il est utile de normaliser les valeurs (scores bruts) d’une distribution normale en les convertissant en scores z pour les raisons suivantes:
- Cela permet aux chercheurs de calculer la probabilité qu’un score se situe dans une distribution normale standard;
- Cela nous permet de comparer deux scores provenant d’échantillons différents (qui peuvent avoir des moyennes et des écarts-types différents).
Comment calculer
La formule pour calculer un score z est z = (x-μ)/σ, où x est le score brut, μ est la moyenne de la population et σ est l’écart-type de la population.
Comme le montre la formule, le score z est simplement le score brut moins la moyenne de la population, divisé par l’écart type de la population.
Interprétation
La valeur du score z indique le nombre d’écarts types par rapport à la moyenne. Si un score z est égal à 0, il se situe dans la moyenne.
- Un score z positif indique que le score brut est supérieur à la moyenne. Par exemple, si un z-score est égal à +1, il se situe à 1 écart-type au-dessus de la moyenne.
- AUn z-score négatif révèle que le score brut est inférieur à la moyenne. Par exemple, si un score z est égal à -2, il est inférieur de deux écarts types à la moyenne.
Une autre façon d’interpréter les scores z consiste à créer une distribution normale standard, également connue sous le nom de distribution du score z ou de distribution de probabilité (voir la figure 3).
Les scores z peuvent être interprétés de différentes façons. 3).
Distribution normale standard (DNS)
- La DNS (c’est-à-dire, z) a toujours la même forme que la distribution des notes brutes. Par exemple, si la distribution des notes brutes est normale, la distribution des notes z l’est également.
- La moyenne d’une DSN est toujours égale à 0.
- L’écart-type d’une DSN est toujours égal à 1. Par conséquent, un écart-type du score brut (quelle que soit la valeur brute) est converti en une unité de score z.
Le SND permet aux chercheurs de calculer la probabilité d’obtenir au hasard un score à partir de la distribution (c’est-à-dire de l’échantillon). Par exemple, il existe une probabilité de 68 % de sélectionner au hasard un score compris entre -1 et +1 écart-type de la moyenne (voir figure 3).
La probabilité de sélectionner au hasard une note comprise entre -1,96 et +1,96 écart-type de la moyenne est de 95 % (voir Fig. 3).
S’il y a moins de 5 % de chances qu’une note brute soit sélectionnée au hasard, il s’agit alors d’un résultat statistiquement significatif.
Apprenez à utiliser un tableau de scores z
Problèmes pratiques pour les scores z
Calculez les scores z pour les éléments suivants :
Échantillon de questions
- Les scores sur une échelle de bien-être psychologique vont de 1 à 10, avec un score moyen de 6 et un écart type de 2. Quel est le score z d’une personne ayant obtenu un score de 4 ?
- Sur une mesure de l’anxiété, un groupe de participants présente un score moyen de 35 avec un écart-type de 5. Quel est le score z correspondant à un score de 30 ?
- Un inventaire de dépression présente un score moyen de 50 avec un écart-type de 10. Quel est le score z correspondant à un score de 70 ?
- Dans une étude sur le sommeil, les participants déclarent dormir en moyenne 7 heures par nuit, avec un écart-type de 1 heure. Quel est le score z correspondant à une personne déclarant 5 heures de sommeil ?
- Lors d’un test de mémoire, le score moyen est de 100, avec un écart-type de 15. Quel est le score z correspondant à un score de 85 ?
- Sur une échelle de bonheur, le score moyen est de 75, avec un écart-type de 10. Quel est le score z correspondant à un score de 95 ?
- Un test d’intelligence a un score moyen de 100 avec un écart-type de 15. Quel est le score z correspondant à un score de 130 ?
Réponses aux exemples de questions
Vérifiez vos réponses à l’aide de ces solutions. N’oubliez pas que pour chaque problème, vous devez soustraire la moyenne de votre valeur, puis la diviser par l’ampleur de la variation habituelle des valeurs (l’écart-type).
- Z-score = (4 – 6)/2 = -1
- Z-score = (30 – 35)/5 = -1
- Z-score = (70 – 50)/10 = 2
- Z-score = (5 – 7)/1 = -2
- Z-score = (85 – 100)/15 = -1
- Z-score = (95 – 75)/10 = 2
- Z-score = (130 – 100)/15 = 2
Calcul d’un score brut
Il arrive que l’on connaisse un z-score et que l’on veuille trouver le score brut correspondant. La formule pour calculer le score z d’un échantillon en score brut est donnée ci-dessous:
X = (z)(SD) + moyenne
Comme le montre la formule, le score z et l’écart type sont multipliés ensemble, et ce chiffre est ajouté à la moyenne.
Vérifiez que votre réponse a un sens : si nous avons un score z négatif, le score brut correspondant doit être inférieur à la moyenne, et un score z positif doit correspondre à un score brut plus élevé que la moyenne.
Calculer un score Z avec Excel
Pour calculer le score z d’une valeur spécifique, x, vous devez d’abord calculer la moyenne de l’échantillon à l’aide de la formule MOYENNE.
Par exemple, si la plage de notes de votre échantillon commence à la cellule A1 et se termine à la cellule A20, la formule =AVERAGE(A1:A20) renvoie la moyenne de ces nombres.
Par la suite, vous devez calculer l’écart type de l’échantillon à l’aide de la formule STDEV.S. Par exemple, si la plage de notes de votre échantillon commence à la cellule A1 et se termine à la cellule A20, la formule = STDEV.S (A1:A20) renvoie l’écart type de ces nombres.
Pour calculer le score z, tapez la formule suivante dans une cellule vide : = (x – moyenne) / [écart type].
Pour faciliter les choses, au lieu d’écrire les valeurs de la moyenne et de l’écart type dans la formule, vous pouvez utiliser les valeurs de la cellule correspondant à ces valeurs. Par exemple, = (A12 – B1) / [C1].
Puis, pour calculer la probabilité d’un score z PLUS PETIT, qui est la probabilité d’observer une valeur inférieure à x (l’aire sous la courbe à la GAUCHE de x), tapez ce qui suit dans une cellule vide : = NORMSDIST( et entrez le score z que vous avez calculé).
Pour trouver la probabilité d’un score z PLUS GRAND, qui est la probabilité d’observer une valeur supérieure à x (l’aire sous la courbe à la DROITE de x), tapez : =1 – NORMSDIST (et entrez le score z que vous avez calculé).
Questions fréquemment posées
Les scores z peuvent-ils être utilisés avec n’importe quel type de données, quelle que soit leur distribution ?
Les z-scores sont couramment utilisés pour normaliser et comparer des données entre différentes distributions. Ils sont plus appropriés pour les données qui suivent une distribution grossièrement symétrique et en forme de cloche.
Cependant, ils peuvent toujours fournir des informations utiles pour d’autres types de données, à condition que certaines hypothèses soient respectées. Cependant, pour les distributions fortement asymétriques ou non normales, d’autres méthodes peuvent s’avérer plus appropriées.
Il est important de tenir compte des caractéristiques des données et des objectifs de l’analyse pour déterminer si les scores z sont appropriés ou si d’autres approches doivent être envisagées.
Comment la compréhension des z-scores peut-elle contribuer à améliorer la recherche et l’analyse statistique en psychologie ?
La compréhension des z-scores améliore la recherche et l’analyse statistique en psychologie. Les scores Z normalisent les données pour des comparaisons significatives, identifient les valeurs aberrantes et évaluent la probabilité. </Ils aident à interpréter la signification pratique, à appliquer les tests statistiques et à tirer des conclusions précises. Les scores Z fournissent une mesure commune, facilitant la communication des résultats.
En utilisant les z-scores, les chercheurs améliorent la rigueur, l’objectivité et la clarté de leur travail, ce qui permet d’améliorer la compréhension et les connaissances en psychologie.
Un score z peut-il être utilisé pour déterminer la probabilité qu’un événement se produise ?
Non, un score z lui-même ne peut pas déterminer directement la probabilité qu’un événement se produise. Cependant, il fournit des informations sur la position relative d’un point de données au sein d’une distribution.
En convertissant les données en scores z, les chercheurs peuvent évaluer le caractère inhabituel ou extrême d’une valeur par rapport au reste de la distribution. Cela peut aider à estimer la probabilité d’obtenir un score particulier ou des valeurs plus extrêmes.
Ainsi, bien que les scores z fournissent des indications sur la rareté relative d’un événement, ils ne déterminent pas directement la probabilité que l’événement se produise.
